Что такое анализ методом конечных элементов (FEA)?

Анализ методом конечных элементов (АМКЭ, FEA) — это моделирование любого физического явления с использованием численного метода, называемого методом конечных элементов (FEM). Инженеры используют его, чтобы сократить количество физических прототипов и экспериментов и оптимизировать компоненты на этапе проектирования, чтобы быстрее разрабатывать лучшие продукты. Это компьютеризированный метод прогнозирования того, как объект реального мира будет реагировать на силы, тепло, вибрацию и т. Д. С точки зрения того, будет ли он разрушаться, изнашиваться или работать так, как он был спроектирован. Это называется анализом, но в цикле проектирования продукта он используется для прогнозирования того, что произойдет при использовании продукта.

Метод конечных элементов работает, разбивая реальный объект на большое количество (от 1000 до 100 000) элементов, таких как маленькие кубики. Поведение каждого маленького элемента, имеющего правильную форму, легко предсказать с помощью установленных математических уравнений. Затем компьютер суммирует все индивидуальные поведения, чтобы предсказать поведение реального объекта.

Анализ методом конечных элементов исходит из идеи, что в модели конечных элементов имеется конечное число элементов. Ранее инженеры использовали интегральное и дифференциальное исчисление, которое разбивает объекты на бесконечное число элементов.

Метод конечных элементов используется для прогнозирования поведения вещей относительно практически всех физических явлений:

  • Механическое напряжение (анализ напряжения)
  • Механическая вибрация
  • Теплопередача (проводимость, конвекция и излучение)
  • Поток жидкости (как жидкости, так и газообразные жидкости)
  • Различные электрические и магнитные явления
  • Акустика

Необходимо использовать математику для всестороннего понимания и количественной оценки любых физических явлений, таких как структурное поведение или поведение жидкости, термический перенос, распространение волн, рост биологических клеток и т. Д. Большинство этих процессов описываются с использованием уравнений в частных производных (PDE). Тем не менее, для компьютера для решения этих PDE, численные методы были разработаны в течение последних нескольких десятилетий, и одним из выдающихся, на сегодняшний день, является анализ методом конечных элементов.

Дифференциальные уравнения могут описывать не только процессы природы, но и физические явления, встречающиеся в инженерной механике. Эти дифференциальные уравнения в частных производных (PDE) представляют собой сложные уравнения, которые необходимо решить, чтобы вычислить соответствующие величины структуры (например, напряжения ( εϵ ), деформации ( εϵ) и т. д.) для оценки определенного поведения исследуемого компонента при заданной нагрузке. Важно знать, что ВЭД дает только приблизительное решение проблемы и представляет собой численный подход, чтобы получить реальный результат этих уравнений в частных производных. Упрощенно, FEA — это численный метод, используемый для прогнозирования поведения детали или сборки в заданных условиях. Он используется в качестве основы для современного программного обеспечения для моделирования и помогает инженерам находить слабые места, области напряжения и т. Д. В своих конструкциях. Результаты моделирования на основе метода ВЭД обычно отображаются с помощью цветовой шкалы, которая показывает, например, распределение давления по объекту.

История появления МКЭ (FEA)

Рисунок 1: Моделирование поршневого штока методом конечных элементов (МКЭ, FEA)?

Можно сказать, что в зависимости от точки зрения, МКЭ берет свое начало в работе Эйлера еще в 16 веке. Однако самые ранние математические работы по конечно-элементному анализу можно найти в работах Шеллбаха [1851] и Куранта [1943].

Метод конечных элементов ((МКЭ) был независимо разработан инженерами в различных компаниях и отраслях для решения проблем строительной механики, связанных с аэрокосмическим и гражданским строительством. Разработка приложений для реальной жизни началась примерно в середине 1950-х годов, как показали работы Тернера, Клафа, Мартина и Топпа [1956], Аргириса [1957] и Бабушки и Азиза [1972]. Книги Zienkiewicz [1971] и Strang and Fix [1973] также заложили основы для будущих разработок в FEA.

Разделяй и властвуй!

Чтобы иметь возможность создавать симуляции, необходимо создать сетку, состоящую из миллионов маленьких элементов, которые вместе образуют форму структуры. Расчеты сделаны для каждого элемента. Объединение отдельных результатов дает нам окончательный результат структуры. Приближения, которые мы только что упомянули, обычно являются полиномиальными и фактически являются интерполяциями по элементу (элементам). Это означает, что мы знаем значения в определенных точках внутри элемента, но не в каждой точке. Эти «определенные точки» называются узловыми точками и часто расположены на границе элемента. Точность, с которой переменная изменяется, выражается аппроксимацией, которая может быть линейной, квадратичной, кубической и т. Д. Чтобы лучше понять методы аппроксимации, мы рассмотрим одномерный стержень.

Распределение температуры вдоль бара
Рисунок 2: Распределение температуры вдоль стержня

Давайте предположим, что мы знаем температуру этого бара в 5 конкретных положениях (цифры 1-5 на рисунке). Теперь вопрос: как мы можем предсказать температуру между этими точками? Линейное приближение довольно хорошо, но есть лучшие возможности для представления реального распределения температуры. Если мы выберем квадратное приближение, распределение температуры вдоль стержня будет гораздо более плавным. Тем не менее мы видим, что независимо от степени полинома распределение по стержню известно, как только мы узнаем значения в узловых точках. Если бы у нас была бесконечная полоса, у нас было бы бесконечное количество неизвестных (DEGREES OF FREEDOM (DOF) ). Но в этом случае у нас есть проблема с конечным числом неизвестных:

Система с конечным числом неизвестных называется дискретной системой. Система с бесконечным числом неизвестных называется непрерывной системой.

Дифференциальные уравнения с частными производными

Прежде чем приступить к самому анализу конечных элементов, важно понять различные типы PDE и их пригодность для Метода Конечных Элементов. Понимание этого важно для всех, независимо от мотивации к использованию анализа методом конечных элементов. Следует постоянно напоминать себе о том, что МКЭ — это инструмент, и любой инструмент настолько хорош, насколько хорош его пользователь.

PDE могут быть классифицированы как эллиптические (довольно гладкие), гиперболические (опорные решения с разрывами) и параболические (описывают зависящие от времени задачи диффузии). При решении этих дифференциальных уравнений необходимо указывать граничные и / или начальные условия. В зависимости от типа PDE, необходимые входные данные могут быть оценены. Примеры PDE в каждой категории включают уравнение Пуассона (эллиптическое), волновое уравнение (гиперболическое) и закон Фурье (параболическое).

Уравнение Лапласа на кольце
Рисунок 3: Уравнение Лапласа на кольце

Существует два основных подхода к решению эллиптических уравнений: конечно-разностный анализ (FDA) и вариационные (или энергетические) методы. МКЭ относится ко второй категории вариационных методов. Вариационные подходы в первую очередь основаны на философии минимизации энергии.

Гиперболические PDE обычно связаны с скачками в решениях. Волновое уравнение, например, является гиперболическим PDE. Из-за существования разрывов (или скачков) в решениях исходная технология FEA (или метод Бубнова-Галеркина) считалась неподходящей для решения гиперболических PDE. Однако за прошедшие годы были разработаны модификации для расширения применимости технологии FEA.

Важно учитывать последствия использования числовой структуры, которая не подходит для выбранного типа PDE. Такое использование приводит к решениям, которые известны как «неправильно поставленные». Это может означать, что небольшие изменения параметров домена приводят к большим колебаниям в решениях или решения существуют только в определенной части домена или времени. Это не надежно. Правильно поставленные решения определяются уникальным, который постоянно существует для определенных данных. Следовательно, учитывая надежность, крайне важно получить их.

Слабая и сильная формулировка

Математические модели теплопроводности и упругости, рассматриваемые в этой серии, состоят из (частичных) дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. Это также называется так называемой сильной формой проблемы. Несколько примеров «сильных форм» приведены на иллюстрации ниже.

Таблица 1: Дифференциальные уравнения второго порядка

Для разработки конечно-элементной формулировки уравнения в частных производных должны быть переформулированы в интегральную форму, называемую слабой формой . Слабая форма и сильная форма эквивалентны ! В анализе стресса слабая форма называется принципом виртуальной работы.

Данное уравнение является так называемой слабой формой (в данном случае слабой формулировкой для упругости). В названии говорится, что решения для слабой формы не обязательно должны быть такими же гладкими, как решения для сильной формы, что подразумевает более слабые требования к непрерывности.

Минимальная потенциальная энергия

Анализ методом конечных элементов также может быть выполнен по принципу вариации. В случае одномерной эластостатики минимум потенциальной энергии является устойчивым для консервативных систем. Положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия системы minimum минимальна. Каждое бесконечно малое нарушение стабильного положения приводит к энергетическому неблагоприятному состоянию и подразумевает восстанавливающую реакцию. Простой пример — обычная стеклянная бутылка, которая стоит на земле, где у нее минимальная потенциальная энергия. Если он упадет, ничего не произойдет, кроме громкого шума. Если он стоит на углу стола и падает на землю, весьма вероятно, что бутылка сломается, поскольку она несет больше энергии к земле. Для принципа вариации мы используем этот факт. Чем ниже уровень энергии, тем менее вероятно, что он получит неправильное решение. Полная потенциальная энергия Π системы состоит из работы внутренних сил (энергии деформации)

И работа внешних сил:

Общая энергия:

Сетка сходимости

Одной из самых игнорируемых проблем вычислительной механики, влияющих на точность, является сходимость сетки. Это связано с тем, насколько маленькими должны быть элементы, чтобы гарантировать, что на результаты анализа не повлияет изменение размера сетки.

Конвергенция качества с увеличением степени свободы
Рисунок 4: Конвергенция качества с увеличением степени свободы

На рисунке выше показано сходимость количества с увеличением степеней свободы. Как показано на рисунке, важно сначала определить количество процентов. Необходимо учитывать как минимум три точки, и с увеличением плотности сетки интересующее количество начинает сходиться к определенному значению. Если два последующих уточнения сетки существенно не изменяют результат, то можно предположить, что результат сходится.

Уточнение сетки с h- и p-адаптивностью
Рисунок 5: Уточнение сетки

Что касается уточнения сетки, то не всегда необходимо, чтобы сетка во всей модели была уточнена. Принцип Сен-Венана предусматривает, что местные напряжения в одном регионе не влияют на напряжения в других местах. Следовательно, с физической точки зрения модель может быть уточнена только в определенных областях, представляющих интерес, и, кроме того, иметь зону перехода от грубой к мелкой сетке. Существует два типа уточнений (h- и p-уточнения), как показано на рисунке выше. h-уточнение относится к уменьшению размеров элемента, в то время как p-уточнение относится к увеличению порядка элемента.

Здесь важно различать геометрический эффект и сходимость сетки, особенно когда сетка изогнутой поверхности с использованием прямых (или линейных) элементов потребует большего количества элементов (или уточнения сетки) для точного захвата границы. Уточнение сетки приводит к значительному снижению ошибок:

Уточнение сетки с отображаемыми ошибками
Рисунок 6: Практическое применение очистки сетки

Подобное уточнение может позволить увеличить сходимость решений без увеличения размера решаемой задачи.

Как измерить сходимость?

Итак, теперь, когда важность конвергенции была обсуждена, как можно измерить конвергенцию? Что такое количественная мера для конвергенции? Первым способом будет сравнение с аналитическими решениями или экспериментальными результатами.

Как показано в приведенных выше уравнениях, можно определить несколько ошибок для смещения, деформаций и напряжений. Эти ошибки можно использовать для сравнения, и их необходимо будет уменьшить с помощью уточнения сетки. Однако в сетке ВЭД величины рассчитываются в различных точках (узловых и гауссовых). Поэтому в этом случае необходимо определить, где и в каких точках должна быть рассчитана ошибка.

Норма ошибки в моделировании ВЭД
Рисунок 7: Норма ошибки

Применение метода конечных элементов (МКЭ)

 

Рисунок 8: Пример применения анализа методом конечных элементов — Ось

Анализ методом конечных элементов начался со значительных перспектив в моделировании нескольких механических применений, связанных с аэрокосмическим и гражданским строительством. Применение метода конечных элементов только начинает реализовывать свой потенциал. Одной из наиболее интересных перспектив является ее применение в связанных задачах, таких как взаимодействие структуры жидкости; термомеханические, термохимические, термохимические проблемы, пьезоэлектрические, сегнетоэлектрические, электромагнитные и другие соответствующие области:

Статический

С помощью статического анализа вы можете анализировать линейные статические и нелинейные квазистатические структуры. В линейном случае с приложенной статической нагрузкой для определения отклика конструкции требуется только один шаг. Геометрическая, контактная и материальная нелинейность могут быть приняты во внимание. Примером является несущая опора моста.

Динамический

Динамический анализ помогает анализировать динамический отклик структуры, которая испытывала динамические нагрузки в течение определенного периода времени. Чтобы реалистично смоделировать структурные проблемы, вы также можете анализировать воздействия нагрузок, а также смещения. Примером является воздействие человеческого черепа со шлемом или без него.

 

 

 

 

Back to Top